Resumo: O timbre é dos atributos do som, o que maior complexidade apresenta e são os harmônicos componentes de um som os que caracterizam o seu timbre. No presente trabalho apresentamos a análise timbrística de um fragmento do Concerto Italiano-971 de Bach executado em piano. Tal fragmento foi tido em consideração porque representa um dos pontos cume da música. Para fazer a análise do timbre foi aplicada a Transformada Rápida de Fourier com o objetivo de transformar o sinal sonoro que estava inicialmente no domínio temporal num sinal no domínio da freqüência. As curvas de contribuição marcam destaque, fundamentalmente, das faixas 5, 4 e 1 associados aos intervalos de freqüências (500-1k250 Hz), (250-500 Hz) e (32-64 Hz) respectivamente. Nesse sentido, conseguimos verificar nas curvas de contribuição harmônica que o destaque do quinto harmônico, corrobora a tabela da faixa de freqüências harmônicas para os instrumentos musicais.

Palavras chaves: freqüência, harmônicos, timbre, contribuição harmônica.

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Analyses of the harmonic contribution in the implementation of the piano “Italian Concerto-971 of Bach”

Summary: The timbre is the more complex sound’s attributes and it’s characterized by the harmonics components of a sound. In the present paper we investigate the harmonic contribution of a fragment of the Italian Concert-971 of Bach. This fragment was taken in consideration because it represents the peak point of the music. To study the harmonic contributions was applied Fast Fourier Transform. The curves marked contribution highlight fundamentally bands 5, 4 and 1 frequency. In this sense, we can verify the harmonic contribution curves are coherent with featured the fifth harmonic of piano with regard to the range of harmonic frequencies for musical instruments.

Keywords: frequency, harmonics, timbre, harmonic contribution.

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1. Introdução.

Este artigo se propõe fazer uma análise dos harmônicos de um fragmento do “Concerto Italiano-971 de Bach” executado em piano. Assim, um dos critérios pelos quais se escolheu esta foi pela magistral execução que faz o interprete no instrumento. Também, pelo fato de ser Bach um autor de elevado reconhecimento em nível mundial e termos execuções deste mesmo tema musical por outros instrumentos e interpretes. Sendo assim, o nosso interesse pela pesquisa ao redor da relação entre Física e Música encontrava sustento, pois tendo ao menos como referência três instrumentos poderia fazer uma análise harmônica de cada um deles e ter mais referência do comportamento timbrístico, embora aqui como dito acima, nos referiremos só ao estudo harmônico do piano.

O fragmento alvo deste estudo tem uma duração de 34 segundos e constitui um intervalo que subjetivamente consideramos como o ponto de destaque. Em tal momento existe a repetição de frases sempre com uma dinâmica diferente destacando-se a intencionalidade do autor no andamento da peça e na medida em que são explorados recursos sonoros no diálogo que se estabelece entre as vozes participantes. Este tema é uma música instrumental e, portanto, possibilita realizar uma análise harmônica em que não se considera a voz humana, na qual também estaria envolvida a intencionalidade do intérprete. De forma que embora a nossa análise se limite ao estudo harmônico desta música a metodologia que utilizaremos é a mesma que seria utilizada para uma análise timbrística ou tímbrica, pois são os harmônicos os responsáveis por esta qualidade do som (timbre). Falar deste atributo no que diz respeito a questões científicas e acústicas implica levar em consideração o comportamento harmônico que forma parte do evento sonoro, porém de um único instrumento ou voz, no que se refere à música. É por isso, que se faz necessário falar de timbre, pois ele está ligado à estrutura dos harmônicos que possui um som específico e dedicarmos à análise da contribuição harmônica nesta música nos levará à identificação daqueles harmônicos que tem maior destaque dentro do fragmento musical objeto de estudo.

Vale argumentar que é o timbre, dos atributos do som, Loureiro e Bastos (2006), o que maior complexidade apresenta, pois não está associado unicamente a uma dimensão física, portanto, não pode ser especificado quantitativamente no sistema de notação musical. Neste sentido, estes autores defendem a idéia do timbre ser percebido devido à interação de propriedades dinâmicas e estáticas que influenciam aspectos psicológicos e musicais a partir de um complexo conjunto de entes auditivos.

E a vivência da audição timbrística sempre teve e tem ainda hoje nas obras de Bartók¹, a função de fazer com que a “alma” vibre internamente com ela (…) O timbre como tal caracteriza não apenas uma reação do ouvinte, e sim é também em si mesmo um importante elemento estilístico e formal da música ocidental. (Hamel, p. 169, 1976)

Um corpo sonoro Calvo-Manzano(1991), ou seja, um corpo que emita som pode produzir vários sons em dependência das condições em que este vibre. Por exemplo, uma corda de violão produz um som perto da ponte e outros distintos se esta fosse pulsada na boca da caixa sonora ou acima do braço do instrumento. O mais grave destes sons é chamado de fundamental e os outros são denominados de parciais os quais podem ser harmônicos e se estes forem semelhantes à série harmônica derivada da mesma freqüência fundamental, também são chamados de alíquotas ou concordantes.

O número de harmônicos que formam o timbre de cada som é recorrente direto do corpo que o produz e da forma como o instrumento é executado. A mesma nota pode ser produzida em instrumentos diferentes e ainda assim sempre poderemos distinguir um do outro. Por exemplo, uma mesma música produzida por instrumentos diferentes, digamos, cravo, violino e piano apresentam uma característica distintiva que é o timbre. E esta distinção está dada pelos harmônicos que podem ser escutados em cada um destes instrumentos ou qualquer outro que não tenhamos mencionado até aqui, pois os sons que ouvimos se diferenciam enquanto a intensidade e a distribuição de energia. As figuras 1a, 1b e 1c os sons neste caso não têm os mesmos harmônicos em freqüências, e também a sua distribuição das intensidades é diferente. Ver figura 1

Por outro lado, existem duas limitações Calvo-Manzano (1991) que impossibilitam ao ser humano, em teoria, a percepção de infinitos harmônicos produzidos por um som complexo segundo o teorema de Fourier. Aqueles harmônicos cuja freqüência está no limite superior da audição humana, ou seja, acima dos 20 k não são perceptíveis para o nosso ouvido e tampouco o serão aqueles cujo nível de intensidade esteja abaixo do umbral audível 20 Hz. Estas limitações fazem com que o número de harmônicos que o ouvido humano percebe seja relativamente reduzido e são denominados harmônicos presentes.

1.1. Espectro Acústico.

Como dito acima, a qualidade do timbre de um som não é mensurável como acontece com a altura e intensidade deste; devido à dependência do timbre com a complexidade do movimento vibratório que o originou é impossível estabelecer uma unidade de medida ou escalas que possibilitem a comparação de sons no que diz respeito ao seu caráter tímbrico. Neste sentido, no que se refere à análise tímbrica de um som o que se pode obter é um espectro acústico. Neste artigo, a utilização do espectro acústico tem sido fundamental para conseguir a análise timbrística do fragmento escolhido do “Concerto Italiano-971 de Bach”, pois este (o espectro) oferece a obtenção de gráficos com a distribuição dos harmônicos com os seus valores relativos de freqüências e intensidades. Tal espectro constitui um diagrama da freqüência dos tons parciais que formam parte do som, em função da amplitude de cada um deles. Ver figuras 1 e 2.

Os picos no gráfico definem cada um dos harmônicos que compõem o som e a sua freqüência relativa é representada no eixo X e a intensidade do mesmo é medida no eixo Y (ver figura 2).

No estudo que fazemos tendo em vista o piano nesta peça de Bach, faz com que se obtenha um espectro característico. Da mesma forma, cada instrumento tem um espectro típico que o identifica pelos harmônicos que o compõem em dependência da complexidade do pulso sonoro em questão. Tal situação difere em concreto da forma da onda que adotaria um instrumento que emita um som puro. Neste caso último, o som emitido terá uma freqüência única, chamada também de fundamental. Isto não acontece com o piano na música que analisamos. O mais grave dos harmônicos é relativo à freqüência fundamental e os demais valores de freqüência correspondem aos outros harmônicos que por sua vez também diferem em suas amplitudes relativas. Os instrumentos musicais e até a voz humana devem o seu timbre característico à presença de harmônicos com as suas respectivas freqüências e amplitudes.

1.2 Fatores que influenciam o timbre do piano.

Conseguir produzir um harmônico, leva ter em consideração um aumento da freqüência do movimento oscilatório da fonte, para isso é preciso diminuir o comprimento, de uma corda ou aumentar a vibração em outras. No caso que seja um instrumento de corda colocando o dedo de uma forma específica segundo o número de ordem do harmônico que se deseja. Se for o segundo na metade da corda; se for o terceiro o dedo deve ser colocado num terço da corda e assim por diante. De forma que o timbre destes harmônicos é diferente ao dos sons fundamentais e tendo menor intensidade.

Antes de começar a descrição do comportamento timbrístico do piano, acho pertinente uma abordagem na qual se toquem alguns aspectos relativos à história deste instrumento e dizer que é este conjuntamente com o clavicordio e o cravo, também conhecido como clavicémbalo, instrumentos musicais recentemente inventados pelo homem. E logicamente aperfeiçoados no transcurso do tempo. No que diz respeito ao piano, instrumento objeto deste estudo, pode-se dizer que este demorou quase um século em se impor ao cravo.

Os pianos conhecidos na atualidade são identificados como pianos de cola ou piano vertical. A figura 3² a seguir mostra o dito anteriormente e representa o mecanismo interno de um piano horizontal e nela o martelo não está fixado na tecla, o mesmo acontece no piano vertical.

Aqui o martelo recebe o impulso da tecla através da alavanca de escape, após este instante o martelo se separa desta e segue o seu curso até atingir a corda. Daqui se conclui que o marte não fica em contato com a tecla no momento em que este golpeia a corda. Assim uma vez percutida a corda ele retorna a uma posição intermédia regulada pelo suporte posterior permitindo que a corda oscile livremente. Justamente o fato de que o martelo esteja desligado do resto do mecanismo no momento do contato com a corda, faz com que o som produzido unicamente seja afetado pela velocidade com que o martelo chega à corda. Ou seja, com a maior ou menor força com que a tecla é tocada o que não modifica só a potência sonora do instrumento, mas também o seu conteúdo timbrístico. Este aspecto também se vê afetado pelos sons “parasitos” ou “parasitas” os quais são devidos ao ruído do próprio mecanismo ao se movimentar e ao se deter; aqui também participa o ruído que produz o dedo do intérprete ao golpear as teclas. Este último é denominado como ruído de tecla superior e o que produz a tecla ao impactar no fundo do teclado é chamado de ruído de tecla inferior. Este tem uma contribuição significativa no efeito sonoro final e devem ser considerados durante uma execução musical, de forma que diminuam as suas influências nas características timbrísticas do piano.

Durante o contato do martelo com a corda também se produz um efeito que influencia o som emitido. Nos primeiros pianos os martelos estavam cobertos por couro, mas este perdia muito rápido a sua elasticidade, isto foi a razão pela qual ao redor do ano 1830 este fosse substituído por feltro, material que ligado a sua dureza, a sua grossura, a textura assim como a massa e o tamanho dos martelos são parâmetros vitais no conjunto sonoro. O contato da corda com o martelo dura aproximadamente, Burred (1999), 2 milissegundos, neste tempo a força aplicada sobre a corda pelo martelo não é constante e bem determinada pelos processos de deformação que acontecem internamente e pela reação da corda. Sendo assim o tempo de contato pode ser dividido em dos momentos, o primeiro devido ao impulso onde predomina a força do martelo sobre a corda, o segundo será o retrocesso no qual a corda que atua como uma mola que reage sobre o martelo. Assim, acontece uma transferência de energia cinética, inicialmente do martelo à corda e logo em sentido oposto, neste processo o feltro de comprimirá e se expandirá respectivamente. Se a velocidade do martelo é elevada maior será a excitação dos parciais superiores e conseqüentemente as notas que sofram indicações de fortíssimo terão uma melhor qualidade sonora, Burred (1999) na parte alta do espectro do que as notas pianíssimo. Tais compressões e expansões ocorrem de forma diferente em dependência da altura da nota que ative, ou seja, para notas mais graves a deformação do martelo é maior. A figura 4 apresenta o efeito da não-linearidade ao qual fazíamos referência acima para as notas LA₀, LA₃ e LA₆.

La figura 5, a seguir mostra que para o LA₀ não se tem contato entre a corda e o martelo permitindo que o feltro se expanda o que indica a linha em pontos da figura em questão. Esta perda do contato, Burred (1999) aparece devida às primeiras reflexões da onda que se gera pela ação do martelo sobre a corda.

No piano o fato da corda ser percutida faz com que o tempo de contato seja pequeno, mas suficiente para que se formem ondas estacionárias harmônicas numa fração curta da corda. Imaginemos que tal contato entre o martelo e a corda acontece num sétimo da corda, as ondas estacionárias que se originariam, Burred (1999) constituirão a série harmônica de uma nota de freqüência sete vezes superior à da corda em todo o seu comprimento que seriam os harmônicos 7, 14, 21, 28, etc os quais se supõem eliminados. No momento em que o martelo deixa de fazer contato com a corda todos estes harmônicos apareceram na corda e assim todos os modos de vibração estarão presentes na corda. É aqui onde o timbre se vê afetado pelo tempo de contato. Na medida em que este seja maior quanto menor será a amplitude dos harmônicos múltiplos de 7 devido à perda de energia das ondas estacionárias nessa parte afetada da corda antes destes se propagarem.

Assim também, outro fator que influencia o timbre é a longitude da superfície do martelo que faz contato com a corda. Uma forma de que os parciais de maior freqüência (agudos) sejam afetados é que a longitude da superfície do martelo que golpeia a corda seja maior do que a longitude de onda de um modo específico o qual será atenuado devido a esta questão. Dessa maneira, os martelos pequenos do registro agudo provocaram um melhor som no que se refere a parciais superiores. Diferentemente do que acontece com os martelos do registro de menor freqüência (os graves).

1.4 Aspectos gerais do timbre.

A especificação do timbre no sistema musical aparece quando é considerada a sua complexidade e a contribuição dos outros atributos sonoros, entre os que se encontra a altura (freqüência), ritmo (tempo) e do volume (Intensidade). Neste sentido, o timbre tem sido muito utilizado para o reconhecimento de diferentes instrumentos assim como no reconhecimento de técnicas de escalonamento multidimensional as quais são determinadas por pequenas variações ao longo de três dimensões as quais são denominadas de: attack time, spectral centroid e spectral flux. Um exemplo do dito até aqui se pode evidenciar nas mudanças (indicações) de intensidade na partitura e combinações de alturas que induzem no ouvinte manifestações psicológicas relativas às variações timbrísticas. Para autores como Le Groux e Verschure (2010) os sons podem ser descritos principalmente por cinco componentes perceptuais, quatro deles foram mencionados acima e adicionam a estes a espacialização. Esta devida à relação destes elementos no espaço timbrístico, se manifestando assim, também, a sua multidimensionalidade. Outros estudos, segundo estes mesmos autores, têm relatado as dimensões perceptuais do som através de descrições acústicas. Tais descrições podem levar em consideração o elemento espectral, temporal e o elemento espectral-temporal e assim gerar um espaço timbrístico. O espaço timbrístico é determinado utilizando a análise multidimensional derivada da experimentação, na qual ouvintes estimam a disparidade entre pares de sons com diferentes características timbrísticas.

Para autores como Grey (1977); Risset (1991) e Loureiro e Bastos (2006) está claro que na percepção do timbre participam elementos como a evolução da intensidade global. Denominada por estes dois últimos pesquisadores como envelope de amplitude; outros fatores como as flutuações de volume e altura; a distribuição espectral (amplitudes das freqüências dos componentes espectrais) e a própria evolução temporal intervêm na percepção timbrística não só dos instrumentos musicais, mas também da voz humana. De forma que, a análise que se faz desta música estará permeada da utilização de uma metodologia quantitativa que possibilite analisar e interpretar o comportamento harmônico da mesma.

1.5 Efeitos de freqüências.

A seguir apresentamos uma descrição dos efeitos psicológicos provocados por valores de freqüência durante a execução de instrumentos musicais e a voz. Nesse sentido, temos que de 31 a 63 Hz encontram-se as freqüências fundamentais de bumbo, tuba, baixos de 6 cordas e pedal do órgão. Essas freqüências dão ao som a sensação de “potência”. Se enfatizadas, fazem o som ficar “emplastado”. Na voz, dão sensação de poder de alcance de cantores excepcionais (baixo). De 80 a 125 Hz, o reforço destas freqüências causa o efeito de “boom” pronunciado. O corte de 120 Hz ajuda na rejeição do ruído de rede elétrica (1º harmônico) isto porque a rede elétrica tem uma freqüência de 60 Hz e seus harmônicos estão nos 120, 180, 240 Hz, etc. De 160 a 250 Hz estão situadas as freqüências fundamentais de tambores e baixos (fundamentais da voz, também). Se reforçadas, podem causar o “boom”. O corte em 180 Hz ajuda a eliminar ruídos de rede elétrica (2º harmônico). De 315 a 500 Hz as freqüências fundamentais de cordas e percussão em geral e constituem um intervalo de freqüência importante para a qualidade de vocal. De 630 a 1000 Hz estão as freqüências fundamentais e harmônicas de cordas, teclados e percussão. Embora tenhamos declarado anteriormente que o nosso estudo não aborda a voz humana, vale a pena assinalar que este intervalo é importante para a “naturalidade” da voz, ou seja, o momento que em não existem variações tonais ou de outro tipo sejam quais forem as causas da mudança. O reforço excessivo causa aos instrumentos o som de “corneta de lata” e na voz aquele som de “telefone”. De 1,25 a 4 K Hz são encontradas as freqüências fundamentais da bateria, guitarra, acentuação de vocais, cordas e contrabaixo. O excesso de reforço nestas freqüências também causa a “fadiga sonora”, que cansam o ouvinte após cerca de 30 min.

Vocais podem ter mais brilho reforçando freqüências em torno de 3 kHz, mas é necessário ao mesmo tempo atenuar um pouco a mesma faixa para os instrumentos.

De 5 a 8 kHz temos freqüências que acentuam a percussão, como por exemplo, pratos e caixa de bateria, acentuação de voz feminina e falsetes. Reduções a partir de 5 kHz tornam o som mais “distante e transparente”, pois o mesmo se dispersa no local. Atenuações nessa faixa auxiliam a redução de chiados.

A faixa de 1,25 kHz até 8 kHz governa a claridade e definição do som, tanto para voz como para instrumentos. De 10 a 16 kHz estão as freqüências de pratos e agudos em geral. Tendo como base as informações expostas acima, foi possível determinar a contribuição harmônica, a qual é apresentada na seguinte seção.

2. Metodologia.

Uma vez definida a música alvo do nosso estudo foi feito um reconhecimento daquele fragmento em que se ressalta a intencionalidade do autor. O trecho que identifica este estado cume é utilizado em várias ocasiões marcando uma dinâmica diferente em cada uma das repetições; insistindo desse modo na chegada da música ao seu clímax. O fragmento de destaque ao qual dirigimos o nosso estudo, foi identificado como Teste2 (ConI)-piano e compreende o intervalo de 34 s da música original. Este foi segmentado em outros três momentos os quais chamamos de Testes, com o objetivo de facilitar o estudo quanto ao elevado número de dados associados a cada ponto em análise da música em questão. O primeiro dos testes é chamado de Frag 1_1, Frag1_2 e Frag 1_3. Por sua vez, estes foram submetidos a uma segunda segmentação agora considerando os trechos periódicos, embora estes possam variar de um teste para outro, mas esta segmentação permitiu que um mesmo trecho periódico não fosse analisado duas vezes por estes estarem presentes mais de uma vez nos diferentes segmentos.

Figura 6. Exemplo de fragmento período na segunda segmentação

Este processo de fragmentação da música possibilitou a aplicação da análise harmônica a partir da Transformada de Fourier Rápida (FFT – Fast Fourier Transform) com o intuito de identificar os harmônicos associados a pontos específicos (discretos) de cada teste em estudo e a correspondência de cada um deles (os pontos) com valores de freqüência e amplitude.

A Transformada de Fourier Rápida permite colocar um sinal que está no domínio do tempo no domínio da freqüência; a utilização desta no nosso estudo encontra subsídio, pois a nossa sensibilidade auditiva tem uma relação explícita com a freqüência e implícita com o tempo. A transformada foi aplicada aos diferentes fragmentos, isto levando em consideração o espectro de freqüência e equalização para instrumentos musicais e de áudio. De forma tal que os intervalos de freqüência a seguir são apresentados relativos aos instrumentos característicos e os prováveis efeitos que podem induzir no ouvinte; tendo em vista a descrição feita no item 1.5. Foi a partir desta caracterização que fixamos valores de freqüência (faixas de freqüência) sobre as quais foram determinadas as contribuições harmônicas de cada segmento (fragmento) musical: 32, 64, 125, 250, 500, 1k250, 2k500, 5k, 7k500, 10k, 16kHz.

3. Resultados obtidos.

No presente item mostramos os resultados a partir da análise realizada aos diferentes fragmentos. Em geral obtivemos 106 fragmentos relativos à segunda segmentação do piano, ou seja, à divisão dos Frag 1_1, Frag 1_2 e Frag 1_3 em seus componentes correspondentes. Tais fragmentos (trechos) foram denominados de componentes parciais em decorrência de tal segmentação. A soma destes componentes para cada um dos fragmentos iniciais foi que chamamos de SCP (soma dos componentes parciais) a qual se apresenta na tabela 1 para cada segmento nos intervalos de freqüência previamente estabelecidos sob os quais foi medida a contribuição harmônica. Para tal tivemos em consideração os efeitos de freqüência tratados com anterioridade. Foi a partir dos valores da tabela 1, em concordância com as respectivas faixas de freqüência, que determinamos as contribuições de cada fragmento um a um; dando como resultado o que chamamos de “Piano”. Devido a este processo obtivemos a curva de contribuições para o instrumento analisado a qual é apresentada na figura 3.

3.1 Análises dos resultados.

Na análise dos resultados foi considerado o destaque das bandas de freqüência nas quais se tem a maior contribuição harmônica dentre os fragmentos estudados. Nesse sentido, foi possível de identificar as bandas 5, 4 e 1 correspondentes aos intervalos de freqüência (500-1k250 Hz), (250-500 Hz) e (32-64 Hz) respectivamente. A tabela 2, a qual mostramos a seguir, apresenta os intervalos de freqüências associados à fundamental e aos harmônicos de um conjunto de instrumentos musicais. Analisando esta, pode-se ver que a freqüência fundamental do piano se encontra entre 28- 4k196 Hz o que corrobora o nosso resultado.

Como vimos anteriormente referindo-nos aos primeiros harmônicos a intensidade destes vai diminuindo com a freqüência o que é possível comprovar também na figura 3 “curva de contribuições harmônicas”. Neste caso existe uma diminuição considerável para a oitava faixa de freqüências (5k-7k500 Hz). Intervalo de freqüências onde segundo a tabela 2 está situada a faixa de freqüências harmônicas para o piano.

Vale chamar a atenção na faixa de freqüência fundamental (quinta banda) que o piano pode atingir e conferindo na tabela 2 vemos que dentro desse intervalo encontramos também as fundamentais de: fagote, trompete, trombone, tuba, baixo acústico e elétrico, sax soprano, violino, violão e guitarra elétrica, viola e cello. No que diz respeito à faixa de freqüências harmônicas ainda que a fundamental do piano contemple a destes instrumentos, são estas freqüências as que conseguem marcar a diferença perceptiva que nos permite distinguir o piano do resto dos instrumentos. Por exemplo, para o limite superior de freqüências harmônicas do piano (8 kHz), segundo a tabela 2 encontramos harmônicos, superiores no violino, na viola, no violão e no sax soprano. Harmônicos inferiores ao limite inferior do piano (5 kHz) no próprio violão, no cello, na viola, no violino e na tuba. São estas freqüências componentes (harmônicos) as que nos permitem identificar a fonte sonora. A forma como estas são produzidas pelo interprete no instrumento, seja através do dedilhado, da percussão ou pela fricção, no caso de um instrumento de cordas friccionadas por arco, provocará variação no número de harmônicos que acompanhe a fundamental e conseqüentemente no seu timbre.

4. Considerações finais

As figuras 1a, 1b e 1c as quais correspondem a fragmentos analisados para cravo, piano e violino respectivamente amostram a complexidade do som emitido por estes instrumentos, os quais em confronto entre eles mesmos e com a figura 2 permitem visualizar a diferença existente entre cada um levando em consideração as freqüências fundamentais e os seus respectivos valores de amplitude (Intensidade). No caso do piano, instrumento ao qual enfocamos o nosso estudo, se vê que entorno dos 600 Hz há um pico súbito que caracteriza a freqüência fundamental enquanto que na medida em que esta aumenta há uma diminuição das amplitudes, ver figura 1b e analogamente comprovaremos a diminuição da amplitude dos harmônicos superiores.

No caso das contribuições harmônicas dos Frag1_1 piano (SCP), Frag1_2piano (SCP) e Frag1_3 piano (SCP) os quais representam o total das contribuições por faixa (trecho) se tem, respectivamente, os valores: 3293,17; 2270, 95 e 7386,23 os quais representam o cociente da soma dos valores de freqüência por cada faixa de medida e a amplitude entre cada uma das faixas antes mencionadas as quais tributaram ao pico quinta faixa.

As contribuições das faixas 4 e 1, ainda que com menor amplitude, também aportam à estrutura sonora (timbre) do piano executado nesta peça. Chama-nos a atenção que segundo a metodologia utilizada obtivemos resultados conflitantes com o intervalo de freqüências harmônicas para o piano apresentado na tabela 2, entre (5-8 kHz). Neste sentido, supomos que tal disposição harmônica se deva à ampla banda de freqüências que abrange este instrumento.

Referências.

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This article was published on 8^th March: International Women´s Day, in Global Education Magazine.